Mathematik der Töne

Die musikalische Systematik gleichstufig temperierter Tonskalen ist mathematisch äußerst simpel. Anstelle von Tonnamen verwenden wir die Zahlen 0 bis 11 und nennen sie Stufen. Eine Tonika ist ein Akkord der Stufen 0 – 4 – 7, als Vektor geschrieben  \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 4 } \\ { 7 } \end{array} \right)

Er entspricht dem einfachsten Intervall, der Quint, und seiner harmonischen Mittelung in Große und Kleine Terz.

Die beiden anderen Akkorde einer Kadenz folgen ebenfalls der Logik des einfachsten Intervalls, sie liegen genau eine Quint entfernt:

Dominante = (Tonika  + 7 Stufen) mod[1]12 = \left( \begin{array} { c } { 7 } \\ { 11 } \\ { 2 } \end{array} \right)

Subdominante = (Tonika – 7 Stufen) mod12 = \left( \begin{array} { l } { 5 } \\ { 9 } \\ { 0 } \end{array} \right)

Die Kadenz der 0-ten Stufe ist somit

    \[\overleftrightarrow  { K 0 } = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 7 } & { 5 } \\ { 4 } & { 11 } & { 9 } \\ { 7 } & { 2 } & { 0 } \end{array} \right)\]

Die Kadenz in der i-ten Stufe damit

    \[\left( \begin{array} { c c c } { i } & { i + 7 } & { i + 5 } \\ { i + 4 } & { i + 11 } & { i + 9 } \\ { i + 7 } & { i + 2 } & { i } \end{array} \right){mod12} = ( \overleftrightarrow  { K 0 } + \mathrm { i } \overleftrightarrow  { E } ) {mod12}\]

,

\overleftrightarrow  { E } bezeichnet dabei die 3 x 3 ‚Einser‘matrix.

Nennen wir Ti die Tonika, Di die Dominante und Si die Subdominante der i-ten Stufe, so lautet die allgemeine Formel für eine Kadenz:

    \[( T D S ) _ { i } = \left[ \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 7 } & { 5 } \\ { 4 } & { 11 } & { 9 } \\ { 7 } & { 2 } & { 0 } \end{array} \right) + i \overleftrightarrow  { E } \right]{mod12}\]

Mit den historisch gebildeten Bezeichnungen für Töne und Modi lässt sich das Musiksystem in einer einzigen Grafik darstellen:

Im Beispiel sind g – Dur, a – dorisch, h – phrygisch, …  dargestellt. Allgemein sind Tonnamenring (12 Stellungen) und Pfeil (7 Stellungen) so einzustellen, dass Grundton, Modus und Pfeilbeginn aufeinander liegen.

Mit 12 Restklassen Modulo12 und 7 Skalentönen spannen 7 x 12 = 84 verschiedene Tonleitern das gesamte Musiksystem auf.

Anmerkung:

Johann Sebastian Bach notiert in seiner h – Moll Messe am Satzende des ‚Patrem Omnipotentem‘ die Taktzahl 84.

84-mal erklingt das Thema ‚Patrem omnipotentem‘.

Welch grandiose Symbolik für die Allmacht Gottes

[1] mod12 bezeichnet die Restklasse Modulo 12